SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT DUA VARIABEL

PETA KONSEP

Bentuk umum persamaan linier dalam variabel x dan y adalah y = mx + n, dengan m dan n berturut – turut adalah anggota bilangan real. Reperentasi geometri persamaan y = mx + n berupa garis lurus. Sementara persamaan kuadrat dalam variabel x dan y paling tidak dapat ditafsirkan sebagai:
1. y = ax^2+ bx + c, dengan a, b, dan c berturut – turut adalah anggota bilangan Real. Representasi geometri persamaan y = ax^2+ bx + c adalah fungsi kuadrat;  dan
2. Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0, dengan A, B, C, D, dan E berturut – turut adalah anggota bilangan Real. Representasi persamaan Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 adalah lingkaran.
Dengan demikian sistem persamaan linier dan kuadrat dua variabel memiliki salah satu dari dua bentuk berikut:
(1). y = mx + n dan y = ax^2+ bx + c; atau
(2). y = mx + n dan Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0.

Dalam hal ini berarti pada akan diselidiki kedudukan garis terhadap fungsi kuadrat/lingkaran. Pada kedua kasus di atas terdapat tiga kemungkinan, yaitu:
1. garis memotong fungsi kuadrat/lingkaran;
2. garis menyinggung fungsi kuadrat/lingkaran; atau
3. garis tidak memotong dan tidak menyinggung fungsi kuadrat/lingkaran.

Menyelidiki kedudukan garis terhadap fungsi kuadrat/lingkaran dapat dilakukan secara geometri atau secara aljabar.

Penyelidikan secara geometri dilakukan dengan cara menggambar garis dan fungsi kuadrat/lingkaran tersebut. Dari gambar ini dapat diketahui kedudukan garis terhadap fungsi kuadrat/lingkaran secara gamblang.

Sementara penyelidikan secara aljabar dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan persamaan y = mx + n ke persamaan y = ax^2+ bx + c / persamaan Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0. Diperoleh persamaan kuadrat katakanlah px^2 + qx + r = 0, dengan p, q, dan r berturut – turut adalah anggota bilangan Real. Kemudian tentukanlah nilai Diskriminan D = q^2 – 4pr. Terdapat tiga kemungkinan nilai Diskriminan D.
Jika D > 0 maka garis memotong fungsi kuadrat/lingkaran;
Jika D = 0 maka garis menyinggung fungsi kuadrat/lingkaran; atau
Jika D < 0 maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran.

Yang dimaksud dengan penyelesaian Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat dua variabel adalah menentukan nilai (x,y) yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Terdapat nilai (x,y) yang memenuhi sistem persamaan tersebut, jika salah satu keadaan ini di bawah ini terjadi:
1. garis memotong fungsi kuadrat/lingkaran; atau
2. garis menyinggung fungsi kuadrat/lingkaran.

Tidak terdapat nilai (x,y) yang memenuhi sistem persamaan tersebut, jika garis tidak memotong dan tidak menyinggung fungsi kuadrat/lingkaran.

Himpunan penyelesaian Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat dua variabel adalah himpunan yang beranggotakan penyelesaian sistem persamaan tersebut. Contoh soal mengenai sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dapat di download di sini. Semoga bermanfaat ^^

Read More

INTEGRAL

Archimedes

Archimedes adalah seorang ilmuwan berkebangsaan yunani yang pertama kali memperkenalkan ide tentang integral. Archimedes  telah menemukan ide untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar, diantaranya adalah rumus lingkaran,  luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini yang kemudian disebut sebagai konsep dasar kalkulus integral.

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah 

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada diatas sumbu-xbernilai positif dan area dibawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan Fdari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

Rumus Umum dalam bentuk-bentuk fungsi Integral :

 

Kegunaan Integral

Semakin banyaknya orang yang mendambakan kepraktisan mengakibatkan trend penyakit bergerser ke arah tumor dan kanker. Untuk kanker sendiri, penyebab utamanya adalah zat karsinogenik yang biasanya terbentuk oleh makanan yang bersentuhan dengan api secara langsung, banyak dijumpai pada makanan yang dibakar. Ayam bakar dan kawan-kawan memang lezat, namun kita tetap harus menjaga diri dari penyakit kanker. Berkembangnya teknologi kedokteran menjadikan pengobatan kanker yang tadinya menggunakan kemoterapi (yang sakitnya minta ampun), beralih ke pengobatan dengan high energy inonizing radiation yang relatif lebih cepat, lebih efektif dan lebih nyaman (meskipun lebih mahal), salah satunya sinar-X, karena tidak mungkin tubuh manusia di bongkar pasang.

Lantas, dimana matematika berperan? Matematika berperan dalam menghitung volume kanker. dan koordinat-koordinatnya dengan penerapan kalkulus (bisa integral cakram, cincin, lipat 2, bahakan lipat 3), karena umumnya sel kanker tidak mungkin bebentuk prisma, tabung, kerucut atau limas yang mudah sekali dihitung volumenya. Pasca itu dokter spesialis onkologi radiasi akan menghitung persamaan intensitas laser yang digunakan (salah hitung bisa bahaya, misal kasus pada kanker (maaf) payudara, kalau salah beberapa mm saja, atau intensitasnya kelebihan sedikit ada peluang kena jantung tuh laser, kalau intensitas kurang, sel kanker mungkin bisa jadi kebal). Memang tidak semua dokter spesialis onkologi radiasi dibantu oleh ahli dosimetri, yang matematikanya jago banget, 

Sekarang kalian tahu kan salah satu kegunaan Integral dalam kehidupan sehari - hari ! karena itu sekarang giliran kalian untuk bisa mengembangkan ilmu kalian untuk memberikan sesuatu yang berarti dalam kehidupan.

Untuk dapat memahami materi Integral, silahkan download disini

Semoga bermanfaat ^^

Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Integral

file pribadi

Read More

SOAL- SOAL OLIMPIADE TINGKAT SMP

Hallo pembaca :) kali ini saya akan mempostingkan hal yang lain dari sebelumnya, jika posting yang sudah ada sering berisi tentang materi, sekarang saya akan membahas soal-soal olimpiade tingkat SMP. Sebelum membahas soal-soal Olimpiade, saya akan menjelaskan secara umu apa itu OSN.

Pengertian OSN :

Olimpiade Sains Nasional merupakan salah satu wahana bagi siswa guna menumbuhkembangkan semangat kompetisi akademik untuk mendorong keberanian bersaing secara sehat sekaligus meningkatkan kemampuan dalam bidang IPA (Biologi, Fisika), Matematika, dan IPS, serta dalam rangka meningkatkan mutu pendidikan.

Tujuan Umum OSN adalah meningkatkan kemampuan siswa SMP dibidang MIPA dan IPS, baik dalam bentuk pemahaman maupun analisis sebagai salah satu upaya untuk meningkatkan mutu pendidikan. 

Tujuan Khusus OSN : 

  Memetakan kemampuan siswa dalam bidang IPA, Matematika, dan Ilmu Pengetahuan Sosial sesuai standar mutu secara nasional.

  Mengidentifikasi para siswa berprestasi di setiap kabupaten/kota, provinsi, dan nasional dalam bidang IPA (Biologi, Fisika), Matematika, dan IPS.

  Memberikan penghargaan kepada siswa yang berprestasi dalam bidang IPA (Biologi, Fisika), Matematika, dan IPS.

  Menumbuhkembangkan kemampuan siswa untuk berpikir kritis, sistematis, kreatif, dan inovatif, sebagai bekal dalam kehidupan.

  Membangkitkan minat siswa untuk mencintai dan memupuk kegemaran terhadap mata pelajaran IPA (Biologi, Fisika), Matematika, dan IPS.

  Menanamkan sifat kompetitif yang sehat sejak ini.

  Menanamkan kesadaran dan keberanian mencoba, belajar menerapkan secara langsung dan sekaligus bisa berprestasi secara optimal.

Bidang yang dilombakan adalah Biologi, Fisika, Matematika, IPS. 

Syarat peserta OSN :

  Berkewarganegaraan Indonesia.

  Siswa SMP kelas VII atau kelas VIII pada saat mengikuti lomba di tingkat kabupaten/kota. Saat mengikuti lomba tingkat provinsi maupun nasional masih berstatus sebagai siswa SMP, dibuktikan dengan surat keterangan kepala sekolah.

  Memiliki nilai rapor serendah-rendahnya 7,5 (tujuh koma lima) untuk bidang lomba yang akan diikuti.

  Berkelakuan baik dan tidak terlibat penyalahgunaan obat terlarang dan minuman keras yang dibuktikan dengan surat keterangan kepala sekolah.

  Hanya mengikuti satu bidang lomba.

  Tidak pernah mengikuti lomba tingkat internasional  dalam bidang yang sama dan dibiayai Kemdikbud.

Tahap Pelaksanaan OSN :

1. Tahap I : Lomba tingkat sekolah

2.  Tahap II : Lomba tingkat kabupaten/kota

3.  Tahap III : Lomba tingkat provinsi

4.  Tahap IV : Lomba tingkat nasional

Nah, sekarang kita sudah mengerti apa itu OSN, karena blog ini berisi semua tentang matematika, saya akan memberikan cotoh-contoh soal olimpiade matematika tingkat SMP. Contoh soal-soal olimpiade tingkat SMP dapat di download di soal olimpiade 1 atau soal olimpiade 2

Sekian pembahasan kali ini, semoga bermanfaat ^^

Sumber : File Pribadi dan http://seputarinfopendidikan.blogspot.com/2013/02/tujuan-dan-syarat-peserta-osn-smp.html

Read More

STATISTIKA

STATISTIKA 

a.   Sejarah Statistika 

Penggunaan istilah statistika  berakar dari istilah istilah dalam bahasa  latin modern statisticum collegium  ("dewan negara") dan bahasa  Italia statista ("negarawan"  atau "politikus").

Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa  Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis  data  kenegaraan, dengan mengartikannya  sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". 

Gottfried Achenwall

Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini  ke  dalam bahasa  Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang  dipakai lembaga-lembaga  administratif dan pemerintahan.  Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya  melalui sensus yang  dilakukan secara  teratur untuk memberi informasi kependudukan yang  berubah setiap saat.

Sir John Sinclair

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung  metode  ilmiah, statistika  inferensi, dikembangkan pada  paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi),  Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel  berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh  semua bidang  ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga  linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang  terapannya,  serta  psikologi banyak  dipengaruhi oleh  statistika  dalam metodologinya. Akibatnya  lahirlah ilmu-ilmu gabungan  seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.

b. Pengertian Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana  merencanakan,  mengumpulkan,  menganalisis, menginterpretasi, dan  mempresentasikan data.  Singkatnya,  statistika  adalah  ilmu yang  berkenaan dengan data. Istilah 'statistika'  (bahasa  Inggris: statistics) berbeda  dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini  dinamakan statistika  deskriptif. Sebagian besar konsep  dasar statistika  mengasumsikan  teori probabilitas.

c. Pengumpulan data 

Metode pengumpulan data :

                  1)   Sensus    : cara pengumpulan data di mana seluruh elemen populasi Diselidiki satu persatu

                 2)   Sampling : cara pengumpulan data dimana yang diselidiki adalah elemen sampel dari suatu                                              populasi

Alat pengumpulan data :

·    Daftar pertanyaan ( kuesioner)

·    Wawancara

·    Dengan cara alat penghubung komunikasi (telefon, SMS, BBM, Whatsapp, Facebook,

twitter, dll)

·    Observasi/pengamatan langsung 

d. Penyajian Data 

                        1.   Diagram Garis

                          Diagram garis adalah diagram yang  menyajikan perkembangan data  yang kontinu, seperti                    populasi penduduk di suatu kota, suhu badan pasien di rumah sakit, curah hujan dan sebagainya. 

Contoh Diagram Garis

2.   Diagram Lingkaran 

Diagram Lingkaran adalah penyajian data dengan menggunakan sektor-sektor dalam suatu lingkaran. Diagram ini digunakan untuk menunjukkan perbandingan antara  obyek yang  satu dengan obyek yang  lainnya  serta  terhadap keseluruhan dalam suatu penyajian. 

Diagram Lingkaran

3. Diagram Batang

Diagram Batang  adalah  suatu jenis penyajian data dengan  menggunakan batang-batang arah vertikal atau horisontal.

Diagram Batang

e. Distribusi frekuensi

Pada saat kita dihadapkan pada sekumpulan data yang banyak, seringkali membantu untuk mengatur dan merangkum data tersebut dengan membuat tabel yang berisi daftar nilai data yang  mungkin berbeda  (baik secara  individu atau berdasarkan pengelompokkan) bersama dengan frekuensi yang sesuai, yang mewakili berapa kali nilai-nilai tersebut terjadi. Daftar sebaran nilai data tersebut dinamakan dengan Daftar Frekuensi atau Sebaran Frekuensi (Distribusi Frekuensi). Dengan demikian, distribusi frekuensi adalah daftar nilai data  (bisa  nilai  individual atau nilai data yang  sudah dikelompokkan ke  dalam selang interval  tertentu) yang disertai dengan nilai frekuensi yang sesuai.

Pengelompokkan  data  ke  dalam beberapa  kelas  dimaksudkan agar ciri-ciri penting data tersebut dapat segera terlihat. Daftar frekuensi ini akan memberikan gambaran yang khas tentang  bagaimana  keragaman data. Sifat keragaman data sangat penting  untuk diketahui, karena dalam pengujian-pengujian statistik selanjutnya kita harus selalu memperhatikan sifat dari keragaman  data.  Tanpa  memperhatikan  sifat keragaman  data, penarikan suatu kesimpulan pada umumnya tidaklah sah. 

Data statistik dapat diperoleh dari hasil sensus, pengamatan sampel atau eksperimen. Selain dalam bentuk diagram, penyajian data juga  dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi. Berikut ini akan dipelajari lebih jelas mengenai tabel distribusi frekuensi tersebut. 

a.   Distribusi Frekuensi Tunggal

Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi  frekuensi \ tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit. Perhatikan contoh data berikut.

5,  4,  6,  7,  8,  8,  6,  4,  8,  6,  4,  6,  6,  7,  5,  5,  3,  4,  6,  6

8,  7,  8,  7,  5,  4,  9,  10,  5,  6, 7,  6,  4,  5,  7,  7,  4,  8,  7,  6

Data yang  disajikan sedemikian banyak tersebut susah untuk diamati, maka  perlu disederhanakan kedalam bentuk yang  mudah dimengerti serta  berguna  bagi tujuan pengukuran     sebelum  dpaat       dipergunakan  sebagai        dasar    penarikan     kesimpulan. 

b.   Daftar distribusi Berkelompok

Ada  beberapa  istilah yang  harus dipahami  terlebih dahulu dalam menyusun daftar

frekuensi. Sambil memahami istilah perhatikan tabel berikut:

Tabel Data Berkelompok

 Range (Jangkauan)

Selisih antara nilai tertinggi dan terendah. Pada contoh ujian di atas, Range = 99 – 35 = 64

Batas bawah kelas

Nilai terkecil  yang  berada  pada  setiap kelas. (Contoh:  Pada  Tabel 3 di  atas, batas bawah kelasnya adalah 31, 41, 51, 61, …, 91)

Batas atas kelas 

Nilai terbesar yang  berada  pada  setiap kelas. (Contoh:  Pada  Tabel 3 di atas, batas  bawah kelasnya adalah 40, 50, 60, …, 100)

Batas kelas (Class boundary)

Batas  yang  digunakan untuk memisahkan antar  kelas, tapi tanpa  adanya  jarak antara  batas atas kelas dengan batas  bawah kelas berikutnya. Contoh:  Pada  kelas  ke-1, batas kelas terkecilnya yaitu 30.5 dan terbesar 40.5. Pada kelas ke-2, batas kelasnya yaitu 40.5 dan 50.5. Nilai pada batas atas kelas ke-1 (40.5) sama dengan dan merupakan nilai batas bawah bagi kelas ke-2 (40.5). Batas  kelas selalu dinyatakan dengan jumlah digit  satu desimal lebih banyak daripada data pengamatan asalnya. Hal ini dilakukan untuk menjamin tidak ada nilai pengamatan yang  jatuh tepat pada  batas kelasnya, sehingga menghindarkan keraguan pada kelas mana data tersebut harus ditempatkan. Contoh: bila batas kelas di buat seperti ini:

Kelas ke-1 : 30 – 40

Kelas ke-2 : 40 – 50

:

dst.

Apabila  ada  nilai ujian dengan angka  40, apakah harus ditempatkan pada  kelas-1

ataukah kelas ke-2?

Panjang/lebar kelas (selang kelas): Selisih antara  dua  nilai batas bawah  kelas yang berurutan atau selisih antara dua nilai batas atas kelas yang berurutan atau selisih antara nilai terbesar dan terkecil batas kelas bagi kelas yang bersangkutan. Biasanya lebar kelas tersebut memiliki lebar yang sama. 

Contoh:

lebar kelas = 41 – 31 = 10 (selisih antara 2 batas bawah kelas yang berurutan) atau

lebar kelas = 50 – 40 = 10 (selisih antara 2 batas atas kelas yang berurutan) atau

lebar kelas = 40.5 – 30.5 = 10. (selisih antara nilai terbesar dan terkecil batas kelas

pada kelas ke-1)

Nilai tengah kelas

Nilai kelas merupakan nilai tengah dari kelas yang  bersangkutan yang diperoleh dengan formula berikut: ½ (batas atas kelas+batas bawah kelas). Nilai ini yang dijadikan pewakil dari selang kelas tertentu untuk perhitungan analisis statistik selanjutnya. Contoh: Nilai kelas ke-1 adalah ½(31+40) = 35.5

Banyak kelas

Sudah jelas. Pada tabel ada 7 kelas.

Frekuensi kelas

Banyaknya kejadian (nilai) yang muncul pada selang kelas tertentu. Contoh, pada kelas ke-1, frekuensinya  =  2. Nilai frekuensi =  2 karena  pada  selang  antara  30.5 –  40.5, hanya  ada  2 angka yang muncul, yaitu nilai ujian 31 dan 38. 

Langkah-langkah dalam menyusun tabel distribusi frekuensi:

·      Urutkan data, biasanya diurutkan dari nilai yang paling kecil

o  Tujuannya  agar range data diketahui dan mempermudah penghitungan

frekuensi tiap kelas!

·      Tentukan range (rentang atau jangkauan)

§ Range = nilai maksimum – nilai minimum

o  Tentukan banyak  kelas yang diinginkan.  Jangan terlalu banyak/sedikit,

berkisar antara 5 dan 20, tergantung dari banyak dan sebaran datanya.

§ Aturan Sturges:

§ Banyak kelas = 1 + 3.3 log n, dimana n = banyaknya data

o  Tentukan panjang/lebar kelas interval (p)

§ Panjang kelas (p) = [rentang]/[banyak kelas]

o  Tentukan nilai ujung bawah kelas interval pertama

Pada saat menyusun TDF, pastikan bahwa kelas tidak tumpang tindih sehingga setiap

nilai-nilai pengamatan harus masuk tepat ke dalam satu kelas. Pastikan juga bahwa tidak akan

ada  data pengamatan  yang tertinggal (tidak  dapat dimasukkan ke  dalam kelas tertentu).

Cobalah untuk menggunakan lebar yang sama untuk semua kelas, meskipun kadang-kadang

tidak mungkin untuk menghindari interval terbuka, seperti ” ≥ 91 ” (91 atau lebih). Mungkin

juga ada kelas tertentu dengan frekuensi nol.

Rangkuman

Dalam distribusi ini, istilah-istilah yang  harus dimengerti adalah rentang  kelas

interval, ujung kelas interval, panjang kelas interval, batas kelas interval, dan tanda kelas

interval. Sedangkan untuk membuat suatu table distribusi frekuensi dengan panjang kelas

yang sama, dilakukan:

1)   Menentukan rentang

2)   Menentukan banyak kelas (dengan aturan sturges)

3)   Menentukan panjang interval

4)   Memiloih ujung bawah kelas

5)   Membuat daftar 

Sumber : File Pribadi

Read More